Прямая и обратная зависимость

Прямая пропорциональность

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз.

Цена постоянна, значит стоимость растёт вместе с количеством. Купили втрое больше, заплатили втрое больше.

Отношение таких величин остаётся постоянным. Если 4 килограмма стоят 240 рублей, то один килограмм стоит 60 рублей, и это число не меняется.

Постоянное отношение и есть примета прямой зависимости. Раздели любую пару значений друг на друга, и получишь одно и то же число.

Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз вторая во столько же раз уменьшается.

Работа постоянна, а рабочих стало вдвое больше. Значит времени уйдёт вдвое меньше.

Постоянным здесь остаётся не отношение, а произведение. Шесть рабочих за 4 дня и двенадцать рабочих за 2 дня дают одно и то же число 24.

Это число имеет смысл. Двадцать четыре это вся работа, измеренная в человеко-днях, и она не зависит от того, сколько людей вышло на объект.

Как отличить одну от другой

Никакой формулы для этого нет. Нужно подумать над смыслом задачи.

Спроси себя: если первая величина вырастет вдвое, что станет со второй?

Если она тоже вырастет, зависимость прямая. Если уменьшится, обратная.

Ошибка почти всегда происходит именно здесь, а не в вычислениях.

Помогает и проверка ответа. Если рабочих стало больше, а времени по вашему решению тоже стало больше, значит зависимость выбрана неверно.

Решение задачи на прямую зависимость

За 5 метров ткани заплатили 900 рублей. Сколько стоят 8 метров?

Величины прямо пропорциональны, значит пропорция записывается напрямую: 5 к 900 равно 8 к x.

Перемножаем крест-накрест: 5x равно 7200. Отсюда x равен 1440 рублей.

Решение задачи на обратную зависимость

Шесть маляров красят забор за 4 дня. За сколько дней справятся восемь маляров?

Здесь величины обратно пропорциональны: маляров больше, дней меньше.

Пропорцию записывают с перевёрнутым вторым отношением: 6 к 8 равно x к 4. Перемножаем и получаем 8x равно 24, то есть x равен 3.

Проверим через произведение: 6 умножить на 4 равно 24, и 8 умножить на 3 тоже 24. Работа не изменилась.

Когда зависимости нет вовсе

Не всякие две величины связаны пропорцией. Рост человека и его оценка по математике никак друг с другом не связаны.

Бывает и хитрее. Площадь квадрата растёт вместе со стороной, но не пропорционально: сторона выросла вдвое, а площадь вчетверо.

Поэтому проверять тип зависимости нужно каждый раз заново. Привычка «раз выросло, значит пропорционально» подводит.

Такие непропорциональные связи изучают в старших классах. Пока достаточно уметь замечать, что перед нами не тот случай, и не тянуть в него пропорцию силой.

Где это встречается

Расчёт материалов, время работы бригады, скорость и время в пути, деление денег, разбавление раствора.

Чем быстрее едешь, тем меньше времени в пути при том же расстоянии. Это классическая обратная зависимость, и с ней мы сталкиваемся каждый день.

Продукты питания дают обратный пример. Чем больше банок закатали, тем на меньшее число дней хватит запаса сахара, купленного один раз.

Про пропорции был урок «Отношения и пропорции», а формулы движения мы разбирали в уроке «Скорость, время, расстояние».