Отрицательные числа

Зачем понадобились новые числа

Натуральных чисел хватало, пока мы вычитали меньшее из большего. Пример 3 − 5 решить было нельзя.

Но в жизни такая задача встречается постоянно. Было три градуса тепла, похолодало на пять, и получился мороз.

Чтобы такие задачи решались, числовую прямую продлили влево от нуля. Новые числа назвали отрицательными и стали записывать со знаком минус.

Числа правее нуля называют положительными. Сам ноль не относится ни к тем, ни к другим.

Координатная прямая

Прямая с началом отсчёта, направлением и единичным отрезком называется координатной.

Каждому числу на ней соответствует точка, а каждой точке своё число. Число называют координатой точки.

Отрицательные числа отмечают слева от нуля. Число −3 стоит на таком же расстоянии от нуля, что и 3, только в другую сторону.

Направление прямой выбирают вправо, и это не случайность. Двигаясь в эту сторону, мы прибавляем, а двигаясь влево, вычитаем.

Единичный отрезок можно взять любой. Главное, чтобы он был одинаковым по всей прямой, иначе расстояния перестанут что-либо значить.

Противоположные числа

Два числа, отличающиеся только знаком, называют противоположными. Это 3 и −3, 7 и −7.

Они стоят на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны. Их сумма всегда равна нулю.

Число, противоположное нулю, это сам ноль. Он единственный, у кого нет пары.

Модуль числа

Модуль это расстояние от нуля до числа. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен.

У числа −7 он равен семи. У числа 7 тоже равен семи, ведь оба стоят на одинаковом удалении от начала отсчёта.

Записывают его двумя вертикальными чёрточками вокруг числа. Читают так: «модуль минус семи равен семи».

У противоположных чисел модули совпадают. Именно поэтому такая мерка удобна при сравнении и при вычислениях.

Сравнение отрицательных чисел

Правило остаётся прежним: правее значит больше. Но работает оно неожиданно.

Число −2 больше числа −5, хотя двойка меньше пятёрки. Мороз в два градуса теплее мороза в пять.

Любое отрицательное число меньше нуля. Любое положительное больше нуля. Значит любое положительное больше любого отрицательного.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Где встречаются отрицательные числа

Температура зимой, глубина под уровнем моря, подземные этажи, долг в кошельке, разница очков в игре, время до события.

Высоту гор считают от уровня моря вверх, а глубину впадин вниз. Марианская впадина это примерно −11 километров.

Ноль тут выбран людьми, а не природой. За начало отсчёта взяли уровень моря, и всё, что ниже, получило знак минус.

Банковский счёт с долгом тоже показывает минус. Это не поломка, а честная запись того, что денег меньше нуля.

Историки тоже пользуются минусом. Годы до нашей эры на ленте времени идут левее нуля, и разница между событиями считается по тем же правилам.

Числа стали полнее

Вместе с отрицательными числами натуральный ряд превратился в целые числа. Это все натуральные, все им противоположные и ноль.

Теперь вычитание выполнимо всегда, а не только когда первое число больше второго.

Такое расширение в математике случалось не раз. Сначала к натуральным числам добавились дроби, потом отрицательные, и каждый раз это делалось ради задач, которые иначе не решались.

Действия с новыми числами разберём в уроке «Действия с отрицательными числами». А про натуральный ряд был урок «Натуральные числа и округление».