Отношения и пропорции

Отношение

Отношение двух чисел это их частное. Записывают его дробью или двоеточием.

Возьмём числа 6 и 3. Их отношение равно двум, и это значит, что первое число вдвое больше второго.

Здесь важна не разница, а кратность. Числа 6 и 3 отличаются на три, но отношение говорит о другом: во сколько раз одно больше другого.

Сокращать отношение можно так же, как обычную дробь. Запись 12 к 18 превращается в 2 к 3, и смысл при этом не меняется.

Что показывает отношение

Отношение отвечает на вопросы «во сколько раз» и «какую часть составляет».

Если в классе 12 девочек и 18 мальчиков, отношение равно 12 к 18, то есть 2 к 3.

Значит на каждые две девочки приходится три мальчика. Всего частей пять, и это уже знакомая нам задача на части.

Из отношения легко получить долю. Девочки составляют две пятых класса, мальчики три пятых, и вместе выходит целое.

Пропорция

Пропорция это равенство двух отношений. Например, 2 к 3 равно 8 к 12.

Числа по краям записи называют крайними членами, числа в середине средними.

Пропорцию читают так: «два относится к трём, как восемь к двенадцати». Смысл в том, что оба отношения дают одно и то же частное.

Основное свойство пропорции

Главное правило темы звучит так: произведение крайних членов равно произведению средних.

Проверим на нашей пропорции. Крайние это 2 и 12, их произведение 24. Средние это 3 и 8, произведение тоже 24.

Это свойство работает всегда. Именно на нём держится решение любой пропорции с неизвестным.

Как найти неизвестный член

Пусть в пропорции неизвестно одно число: 3 к 5 равно x к 20.

Перемножаем крест-накрест: 3 умножить на 20 равно 5 умножить на x. Получаем 60 равно 5x.

Отсюда x равен 12. Проверяем: 3 к 5 и 12 к 20 действительно дают одно и то же частное.

Задача про покупку

За 4 килограмма яблок заплатили 240 рублей. Сколько стоят 7 килограммов?

Записываем пропорцию: 4 к 240 равно 7 к x. Килограммы стоят под килограммами, рубли под рублями.

Перемножаем крест-накрест: 4x равно 240 умножить на 7, то есть 1680. Делим и получаем 420 рублей.

Раньше мы решали такие задачи приведением к единице. Пропорция даёт тот же ответ, но записывается короче.

Масштаб

Масштаб карты это тоже отношение. Запись 1 к 100 000 означает, что один сантиметр на бумаге соответствует ста тысячам сантиметров на местности.

Сто тысяч сантиметров это километр. Значит один сантиметр карты равен одному километру пути.

Такие же отношения используют в чертежах и в моделях. Модель самолёта в масштабе 1 к 72 меньше настоящего ровно в семьдесят два раза.

По карте с известным масштабом можно измерить настоящее расстояние. Достаточно приложить линейку и решить пропорцию.

Где ещё нужны пропорции

Пересчёт рецепта на другое число порций, разведение краски, расчёт лекарства по весу, перевод валют, изменение размера фотографии.

Фотографию нельзя растянуть только по ширине: пропорции нарушатся, и лицо на снимке станет странным. Соотношение сторон это то же самое отношение.

Про задачи на части был урок «Задачи на части», а деление дробей мы разбирали в уроке «Деление дробей».