Деление дробей

Взаимно обратные числа

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице.

Дробь 2/3 и дробь 3/2 взаимно обратны: при умножении получается 6/6, то есть 1.

Чтобы получить обратное число, дробь переворачивают. Числитель становится знаменателем, знаменатель числителем.

У целого числа тоже есть обратное. Для пятёрки это 1/5, ведь 5 это 5/1.

У нуля обратного числа нет. Никакое умножение на ноль не даст единицу.

Правило деления

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей.

Разделим 3/4 на 2/5. Переворачиваем вторую дробь и получаем 5/2.

Теперь умножаем: 3/4 умножить на 5/2 равно 15/8. Это одна целая семь восьмых.

Почему это работает

Правило кажется фокусом, но объяснение простое.

Деление это поиск ответа на вопрос «сколько раз одно помещается в другом». Сколько раз 1/2 помещается в 3? Ровно шесть.

Умножение на 2 даёт тот же ответ. Значит деление на 1/2 равносильно умножению на 2.

Чем меньше делитель, тем больше раз он помещается. Поэтому при делении на правильную дробь результат растёт.

Деление смешанных чисел

Порядок тот же, что и при умножении. Сначала перевод в неправильные дроби, потом переворот и умножение.

Разделим две целых одну вторую на одну целую одну четверть. Переводим: 5/2 и 5/4.

Переворачиваем вторую и умножаем: 5/2 на 4/5. После сокращения получается 2.

Пятёрки сокращаются сразу, остаётся 4/2. Ответ выходит целым числом, и это часто бывает именно при делении смешанных чисел.

Деление на целое число

Целое число тоже переворачивают. Разделить на 4 значит умножить на 1/4.

Возьмём 2/3 и разделим на 4. Умножаем 2/3 на 1/4 и получаем 2/12, после сокращения 1/6.

Смысл понятный: две трети разделили на четыре равные части.

Обратный случай тоже встречается. Разделить целое число на дробь значит узнать, сколько таких долей в нём помещается: 6 : 1/3 равно 18.

Нахождение числа по его дроби

Это главный тип задач урока, и решается он делением.

Известно, что 2/5 от числа равны 12. Найти само число.

Делим: 12 разделить на 2/5 значит умножить на 5/2. Получаем 30.

Проверяем: две пятых от тридцати это 12. Сходится.

Задача из жизни

Турист прошёл 3/8 пути, и это составило 15 километров. Какова длина всего маршрута?

Делим 15 на 3/8, то есть умножаем на 8/3. Получается 40 километров.

Проверка: три восьмых от сорока это 15. Ответ верный.

Такие задачи раньше решали приведением к единице: сначала находили одну восьмую, потом умножали на восемь. Деление на дробь делает то же самое одним действием.

Отличить один тип задачи от другого помогает вопрос. Если целое известно, мы умножаем. Если целое ищем, мы делим.

Где это встречается

Раздел работы между людьми, расчёт материалов, задачи на движение с дробным временем, пересчёт рецептов.

Полтора часа делят на порции по четверть часа. Пять литров краски делят по 2/5 литра на квадратный метр.

Ответ на вопрос «сколько поместится» почти всегда получается делением. Именно поэтому деление на дробь встречается в задачах не реже умножения.

Про умножение дробей был урок «Умножение дробей», а задачи на части мы решали в уроке «Задачи на части».