Действия с отрицательными числами

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Если оба числа отрицательные, их модули складывают, а знак минус остаётся.

Пример: −3 плюс −4 равно −7. Было три градуса мороза, похолодало ещё на четыре, стало семь.

С положительными числами всё как обычно. Правило одинаковое: складываем модули, ставим общий знак.

Долги складываются так же, как деньги. Взял в долг триста рублей, потом ещё двести, и должен теперь пятьсот.

Сложение чисел с разными знаками

Здесь работает вычитание. Из большего модуля вычитают меньший, а знак берут у того числа, чей модуль больше.

Пример: −7 плюс 4 равно −3. Модули 7 и 4, разница 3, знак минус остался от семёрки.

Другой пример: −4 плюс 9 равно 5. Здесь победил плюс, потому что модуль девятки больше.

Проверять удобно на прямой. Прибавление положительного числа это шаг вправо, прибавление отрицательного шаг влево.

Вычитание

Вычитание отдельным действием можно не считать. Вычесть число значит прибавить противоположное ему.

Пример: 5 − 8 равно 5 плюс (−8), то есть −3.

Другой пример: −4 − 6 равно −4 плюс (−6), то есть −10.

Самый непривычный случай это вычитание отрицательного. Запись 3 − (−5) превращается в 3 плюс 5, то есть 8.

Умножение и деление

Правило знаков короткое и одинаковое для обоих действий.

Если знаки множителей одинаковые, произведение положительное. Если разные, отрицательное.

Пример: −3 умножить на −4 равно 12. Пример: −3 умножить на 4 равно −12.

С делением всё точно так же. Число −12 разделить на −4 равно 3, а −12 разделить на 4 равно −3.

Модули при этом умножают и делят как обычные числа. Знак определяют отдельно и ставят перед готовым результатом.

Почему минус на минус даёт плюс

Объяснение проще, чем кажется. Умножение на минус единицу разворачивает число в другую сторону от нуля.

Число 5 после умножения на −1 становится −5. Умножим ещё раз на −1, и оно вернётся к 5.

Два разворота подряд возвращают в исходное направление. Так же работает и любое отрицательное число, только к развороту добавляется растяжение.

Чётное и нечётное число минусов

Из правила растёт удобная примета для длинных произведений.

Если отрицательных множителей чётное количество, результат положительный. Если нечётное, отрицательный.

Сами модули при этом просто перемножают. Знак определяют отдельно, в самом конце.

Частые ошибки

Первая ошибка это путаница между знаком числа и знаком действия. В записи 5 − (−3) первый минус означает вычитание, второй принадлежит тройке.

Вторая ошибка это правило знаков, применённое к сложению. При умножении минус на минус даёт плюс, а при сложении нет: −3 плюс −4 остаётся отрицательным.

Третья ошибка это забытый знак в ответе. Модули посчитаны верно, а минус потерялся по дороге.

Спасает привычка определять знак заранее. Сначала решают, каким он будет, потом считают модули, и знак уже никуда не денется.

Где это встречается

Перепад температур, изменение счёта в игре, приход и расход денег, подъём и спуск, прибыль и убыток.

Температура упала с −5 до −12. Разница считается вычитанием: −12 минус (−5) равно −7 градусов.

Знак минус в ответе говорит о направлении изменения. Температура именно упала, а не выросла, и по одному числу это видно сразу.

Про сами отрицательные числа был урок «Отрицательные числа», а порядок действий мы разбирали в уроке «Порядок действий».