Делимость и признаки

Делитель и кратное

Число 3 делит 12 нацело. Значит тройка это делитель числа двенадцать.

А само число 12 называют кратным тройке. Оно получается умножением тройки на что-то целое.

Слова разные, а речь об одной и той же паре чисел. Просто смотрим на неё с разных сторон.

У любого числа есть как минимум два делителя: единица и оно само.

Простые и составные числа

Если у числа ровно два делителя, его называют простым. Это 2, 3, 5, 7, 11, 13 и другие.

Если делителей больше двух, число составное. Например, у восьмёрки их четыре: 1, 2, 4 и 8.

Единица стоит особняком. У неё всего один делитель, поэтому её не относят ни к простым, ни к составным.

Двойка это единственное чётное простое число. Все остальные чётные делятся ещё и на два, значит простыми быть не могут.

Признак делимости на 2

Число делится на два, если оно кончается чётной цифрой. Это 0, 2, 4, 6 или 8.

Проверять остальные цифры бессмысленно. Число 1 234 568 делится на два, и это видно по последней цифре.

Признаки делимости на 5 и на 10

На пять делятся числа, кончающиеся нулём или пятёркой. На десять только те, что кончаются нулём.

Правило понятное: десяток сам делится и на два, и на пять, поэтому решает только остаток в разряде единиц.

Признаки делимости на 3 и на 9

Эти два признака выглядят волшебно. Смотреть нужно не на последнюю цифру, а на сумму всех.

Возьмём число 471. Складываем цифры: 4 плюс 7 плюс 1 равно 12. Двенадцать делится на три, значит и 471 делится.

А вот на девять число 471 не делится, потому что 12 на девять не делится.

Проверим ещё одно: 5 823. Сумма цифр равна 18, и она делится и на три, и на девять. Значит само число делится на оба этих числа.

Чётные и нечётные

Числа, которые делятся на два, называют чётными. Остальные нечётные.

Это деление знакомо с младших классов, но теперь у него появилось строгое имя.

Полезно помнить, что сумма двух чётных чисел чётная, сумма двух нечётных тоже чётная, а вот сумма чётного и нечётного нечётна.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно разложить в произведение простых. Такое разложение единственное.

Число 60 раскладывается так: 2 · 2 · 3 · 5. Проверить легко умножением.

Разложение выручает при сокращении дробей и при поиске общего знаменателя. Про это будут отдельные уроки в шестом классе.

Где это нужно

Разделить класс на равные команды. Разложить конфеты по пакетам без остатка. Сократить дробь. Понять, поместятся ли плитки на стену без подрезки.

Про деление с остатком был урок «Деление с остатком», а таблицу умножения мы повторяли в уроке «Вся таблица умножения».